zondag 29 december 2013

Rekenen en de top 2000

Een voorbeeld uit de CITOvoorbeeldrekentoets:

q9495img1.gif

De gegevens van zondag 29 december 2013:

q9758img1.gif

Als het goed is dan is het gemiddelde ongeveer gelijk aan 12,8 liedjes per uur.

zaterdag 28 december 2013

donderdag 26 december 2013

Raaklijnen (2)

Gegeven: \(f\left( x \right) = \frac{8}{{x - 4}} + 2\)
Stel een vergelijking op van de lijnen die de grafiek van f raken en evenwijdig lopen aan de lijn met vergelijking \(y=-2x+3\).

Uitgewerkt
De lijnen evenwijdig aan \(y=-2x+3\) hebben het functievoorschrift \(y=-2x+b\). Snijden met f geeft:

\(
\frac{8}{{x - 4}} + 2 =  - 2x + b
\)

Raken betekent dat er precies één oplossing moet zijn. Bepaal de waarde(n) voor \(b\) waarvoor dat geldt.

\(
\begin{array}{l}
\frac{8}{{x - 4}} + 2 =  - 2x + b \\
8 + 2(x - 4) = ( - 2x + b)(x - 4) \\
8 + 2x - 8 =  - 2x^2  + 8x + bx - 4b \\
2x^2  - bx - 6x + 4b = 0 \\
D = \left( { - b - 6} \right)^2  - 4 \cdot 2 \cdot 4b = 0 \\
b^2  + 12b + 36 - 32b = 0 \\
b^2  - 20b + 36 = 0 \\
(b - 18)(x - 2) = 0 \\
b = 18\,\,of\,\,x = 2 \\
\end{array}
\)

De vergelijkingen zijn:

\(
\begin{array}{l}
y =  - 2x + 2 \\
y =  - 2x + 18 \\
\end{array}
\)

Opgelost...:-)

dinsdag 24 december 2013

Raaklijnen

In HAVO 4 wiskunde B leer je in hoofdstuk 2 de vergelijking van een raaklijn aan een grafiek bepalen. Dat gaat zo:
  • In eerste instantie kan je met je GR in een willekeurig punt van de grafiek het differentiequotiënt bepalen. Je kent dan de richtingscoëfficiënt 'a' van de raaklijn 'y=ax+b'. Vervolgens vul je coördinaten van het raakpunt in om de waarde van 'b' te bepalen en je bent er. Zie het voorbeeld.
In de derde klas had je de topformule geleerd. Je weet dat 'y=a(x-p)+q' een parabool is met (p,q) als top. Bij de voorkennis van hoofdstuk 4 komt dat nog een keer terug.
  • Je kunt een raaklijn aan een grafiek ook opvatten als een transformatie van de standaardfunctie 'y=ax'. Hoe kun je er voor zorgen dat (p,q) op de lijn ligt? Door 'y=a(x-p)+q' te nemen. Het bepalen van de vergelijking van een raaklijn kan dus handiger.
Het is dus 'slim' om het bij hoofdstuk 2 er al een keer over te hebben.:-)

vrijdag 20 december 2013

Weblogstatistieken

q9718img1.gif

Berichten

Item Pageviews
334
287

Combinaties en permutaties
10 jan. 2013, 1 reactie
268

Problemen in 4 HAVO wiskunde B
9 feb. 2012, 2 opmerkingen
217
153

Goede vakantie

De beste wensen voor 2014

zondag 15 december 2013

Roosterdiagrammen

Ik had er nog niet bij stil gestaan maar er zit een mooie 'wending' in de oefeningen roosterdiagrammen. Bij opgave 1 zit er niet veel anders op dan de getallen bij de hoekpunten zetten en het aantal kortste routes op die manier uit te rekenen.

q8135img3.gif

Bij de eerste som van opgave 2 gaat dat ook nog wel, maar het kan handiger... Sterker nog: bij de tweede som is dat uitschrijven bijna niet te doen. Gelukkig hebben we zoiets als combinaties. Dat is handig...:-)

q8135img6.gif

Dat vind ik dan wel aardig. Je moet 9 stappen doen waarbij je 4 keer moet kiezen voor 'rechts' en 5 keer voor 'omhoog'. Maar 4 'dingen' kiezen uit 9 waarbij de volgorde er niet toe doet zijn combinaties. Aha... er wordt hier een link gelegd...

Ik heb zelf nog wel 's zitten denken over die roosterdiagrammen met gaten. Zou je daar ook niet iets voor kunnen bedenken, zodat je ze toch 'handig' kan uitrekenen. Dat zal vast kunnen maar ik ben er nog niet echt verder mee gekomen.... maar misschien nog een idee voor een praktische opdracht. Zoek dat maar 's uit...:-)

vrijdag 13 december 2013

Introductie DWO

In deze les maak je kennis met DWO. Dat is de Digitale Wiskunde Omgeving.

q9674img1.gif
In DWO kan je allerlei vaardigheden oefenen. Je werk wordt opgeslagen en je docent kan zien wat je gedaan hebt. In deze les leer je hoe je moet inloggen en hoe 't werkt. Les gemist? Stuur een e-mailtje voor instructies.

Eh...!?

zondag 8 december 2013

Bereken: 99x99

Gewoon onder elkaar zetten:

   

Of handig!?

99x99 = 99·(100-1)=9900-99=9801
99x99 = (100-1)² = 100² - 2·100 + 1 = 10000 - 200 + 1 = 9801
99x99 = 100·100 - 100 - 99 = 10000 - 100 - 99 = 9801
99x99 = (99+1)(99-1) + 1 = 100· 98 + 1 = 9801

Wat je maar wilt... alles kan...:-)

Dit bericht is al eerder gepubliceerd op wiswijzer.

vrijdag 6 december 2013

Een piramide half gevuld

Hier zie je een vierzijdige piramide met een vierkant als grondvlak. De piramide is tot de helft van de hoogte gevuld met water.


Bereken op 1 decimaal nauwkeurig hoeveel procent van de piramide gevuld is.

Een bol in de kegel

Gegeven een kegel. De diameter van het grondvlak is 12 en de hoogte is 8. In de kegel past precies een bol.



Bereken exact de oppervlakte en de inhoud van de kegel en de bol.

zondag 1 december 2013

De bollenbak

Onderstaande opdracht heeft het niet gehaald. 't Is een leuk probleem, maar niet geschikt voor probleemaanpak.

Een bak in de vorm van een balk met lengte 10 m, breedte 10 m en hoogte van 1 m moet bollen bevatten met een diameter van 1 m.
q2923img1.gif

Laat zien dat deze bak 106 bollen kan bevatten.

vrijdag 29 november 2013

Probleemaanpak 8

q522img1.gif

Hier zie je een kegel die bestaat uit verschillend gekleurde lagen. De hoogte van de kegel is 9 en de diameter van het grondvlak is 6. We draaien de lagen om. De inhoud van de verschillende lagen verandert niet.
  • Bereken exact de hoogte van het rode stuk van de rechter kegel.

dinsdag 26 november 2013

Stelsels en vergelijkingen

Je kunt met je GR ook stelsels en vergelijkingen oplossen. Op de Equation-pagina kan je er meer over vinden. Deze is wel aardig:

q9618img7.gifq9618img8.gif

Kijk 's aan... wat zou die ×2 te betekenen hebben?:-)

zondag 24 november 2013

Hoeveel leerlingen hebben de proef gemaakt?

Voor opgave 4 van de proef van hoofdstuk 2 kun je 6 punten halen. Gemiddeld scoren de leerlingen 1 punt. Eén leerling scoort 6 punten, één leerling scoort 3 punten, 5 leerlingen 2 punten en één leerling 1 punt. De rest heeft geen punten.
  • Hoeveel leerlingen hebben de proef gemaakt?
Leuk sommetje, maar wel een hele foute vraag...:-)

zaterdag 23 november 2013

Zet je User Name in je grafische rekenmachine

Tegels

In de 3F-voorbeeldrekentoets 2013 kwam ik dit sommetje tegen:

q9489img1.gif

Dat zijn 1800 tegels met een oppervlakte van 0,42² m² en dat kost dan 12,90 euro per m². Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Twijfelachtig

Ik heb afgelopen vrijdag met de 3e klas maar 's kwadratische vergelijkingen proberen te doen. Dat is een oude versie 'strategie oplossen van tweedegraadsvergelijkingen' in DWO. Dat is maar matig verlopen.

De verbinding is niet altijd even goed, de laptops zijn traag, sommige leerlingen klikken op de verkeerde knopjes bij de javawaarschuwingen en op de minilaptops kan je niet scrollen. Uiteindelijk is het misschien de helft gelukt om nog iets zinnigs te doen, maar echt enthousiast ben ik er niet over.

Dat is wel jammer want het is echt nuttig om bij een complexe vaardigheid als het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen eerst de verschillende soorten vergelijkingen te leren herkennen en te leren welke oplossingsmethode je kunt gebruiken. Maar helaas...:-)

Er is ook een nieuwe versie. Misschien moet ik die dan maar gaan gebruiken. Dat lost niet alle problemen op, maar ja, je moet toch wat... Het idee is goed, maar de praktische uitvoering laat nog steeds zeer te wensen over. Op deze manier schiet het allemaal niet op. Hoe anders en beter zou het kunnen zijn, met een beetje moeite.

Het leven zit vol teleurstellingen...:-)

Intervaltraining

Opdracht 5 van probleemaanpak komt uit de 3F-voorbeeldrekentoets van 2013:



Neem is aan dat de 'hardloopsnelheid' van Joost 10 km/u is. Hij 'hardloopt' 5 km en wandelt 1 km. Hoe lang zou die er dan over doen?

\(
\frac{5}{{10}} + \frac{1}{5} = \frac{7}{{10}} = \frac{{42}}{{60}}
\)

Dat zou dan 42 minuten zijn. Dat is niet goed...:-)
Neem \(v\) als hardloopsnelheid. Er geldt:

\(
\frac{5}{v} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{60}}
\)

Oplossen (eventueel met de GR:-) geeft \(v = 12\). De harloopsnelheid van Joost is 12 km/u.

donderdag 21 november 2013

Vergelijkingen oplossen met je GR

Ik heb de leerlingen van HAVO 4 wiskunde B laten zien dat je met je GR vergelijkingen op kan lossen. Een soort van:-)



Leuk bedacht, maar sommige leerlingen krijgen een hele andere oplossing...:-)

Vreemd genoeg krijg ik met mijn apparaat netjes de bedoelde oplossing \(x=36\). Maar \(x=-5\) is ook een oplossing:

\(
\begin{array}{l}
 20\left( {\frac{1}{{ - 5}} + \frac{1}{{ - 5 + 9}}} \right) = 1 \\
 20\left( { - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}} \right) = 1 \\
 20\left( { - \frac{4}{{20}} + \frac{5}{{20}}} \right) = 1 \\
 20\left( {\frac{1}{{20}}} \right) = 1 \\
 Klopt! \\
 \end{array}
\)

Kennelijk denken sommige apparaten 'anders' en vinden de 'andere oplossing'. Met Lower en Upper kan je aangeven in welk gebied je je oplossing wilt hebben. In 't geval van de metselaars wil je natuurlijk wel graag een positieve oplossing. Zet Lower op nul bijvoorbeeld. Dan gaat het zeker goed.

q9578img3.gifq9578img4.gif

Misschien is het nog wel aardig om je af te vragen wat de oplossing \(x=-5\) precies betekent...:-)

Kwadratische vergelijkingen

In klas 3 is Hoofdstuk 3 - HAVO/VWO - kwadratische problemen een activiteit die je echt moet doen. Het oplossen van kwadratische vergelijkingen is een complexe vaardigheid. Met het applet kunnen leerlingn oefenen met het herkennen van de verschillende soorten vergelijkingen en oefenen met de juiste aanpak.

q7475img1.gif

"Je kunt het applet het werk laten doen, maar jij bent de regisseur die vertelt wat er moet gebeuren!"
  • Hierbij bevestigen we de door jou geplaatste reservering voor laptop windows xps (type HP nx6310), voor de periode van 22-11-2013 14:00 uur tot 22-11-2013 14:40 uur...

dinsdag 19 november 2013

Probleemaanpak

Sommige opgaven uit de 3F-voorbeeldtoets horen 'echt' niet in een rekentoets. Bijvoorbeeld de opgave over de intervaltraining:



Je moet eerst bedenken dat 6 kilometer overeenkomt met 5 km hardlopen en 1 km wandelen. Dan stel je vast dat de training 37 minuten duurt. Maar dan?

...maar dat zouden we bij probleemaanpak eigenlijk nu wel moeten kunnen. Met de 'wat-zou-ik-doen-als-ik-de-oplossing-zou-weten-oplossing'.:-)

Parachute springen

Een proef maken is net zoiets als parachute springen. Voordat je uit het vliegtuig springt moet je eerst een aantal dingen leren:
  1. Uit een vliegtuig springen
  2. Even wachten
  3. Aan het touwtje trekken
  4. Langzaam naar beneden zweven
  5. Landen
  6. Parachute inpakken
Er zijn leerlingen die les 1 en 2 gedaan hebben als er gesprongen moet worden. Ze voelen meestal wel aan dat dat geen goed idee is, maar ja... 't Is oorlog dus je moet springen. Uitstel is niet mogelijk. Dus toch maar springen dan?

Daar kan je wel iets van leren. De volgende keer beter plannen en als de wiedeweerga zorgen dat je bijblijft. Wekenlang een beetje relaxen en zitten leuteren? Als het er op aan komt er achter komen dat het niet gaat lukken? Dat is wel een beetje erg onhandig. Zorg dat je bijblijft...

Leermoment...:-)

Een probleem kleiner maken

In de voorbeeldtoets 3F van 2013 staat een opgave over bloembollen.



In het kader van 'trap er niet in' moet je er wel even over nadenken. Zou het gewoon 15×18=270 zijn? Of is dat te makkelijk? Wat zou er mis kunnen gaan? Moet het misschien breedte- en lengtegewijs steeds 1 minder zijn dan je denkt? Of misschien juist 1 meer?

In dit geval heb je er een voorbeeld bij gekregen. Als je een vierkant zou hebben van 30 bij 30 cm als op het plaatje dan kan je daar 9 bloembollen kwijt. Dat is dus 'gewoon' 3×3=9, dus zal het met 15×18 ook wel goed gaan.

Dat noemen we 'een probleem kleiner maken'.:-)

maandag 18 november 2013

De 'wat-zou-ik-doen-als-ik-de-oplossing-zou-weten-oplossing'

Bij sommige problemen is het handig als je een formule opstelt. Als je dat lastig vindt dan kan het handig zijn om eerst een 'concreet voorbeeld' als oplossing te nemen en te kijken of je kan controleren of die oplossing klopt. Als je dat kan dan kan je dat waarschijnlijk ook met een 'variabele'.

Driehoekjes

q1229img1.gif

In de tekening hierboven geldt: ABC is een rechthoekige driehoek met C als de rechte hoek. De lijnstukken AD, DF, FE, EC en CB zijn allemaal even lang.

Neem 's aan dat hoek A gelijk aan 20 graden is. Je kunt dan de hoeken uit gaan rekenen. Je krijgt dan zoiets als:



Maar dat klopt niet...:-)

Maar neem nu 's aan dat hoek A gelijk is aan 'x' graden. Kan je 't dan ook? De kunst is dan om hoek B uit te drukken in 'x'. Je weet dat hoek A en hoek B samen 90 graden is... en dan kan je dat vast uitrekenen.

Noem iets 'x', druk de andere onbekenden uit in 'x' en gebruik de eigenschappen om een vergelijking op te stellen die je kan oplossen. Lukt dat niet meteen probeer het dan 's met een concrete oplossing en probeer daarna dezelfde stappen met een variabele.

Lever de opdrachten 3 en 4 vrijdag in. De oplossingen van de opdrachten 1 t/m 4 deel ik daarna uit en er zijn weer 2 nieuwe problemen.

zondag 17 november 2013

Uit je doppen kijken

Eén van de wiskundige vaardigheden die leerlingen moeten leren is het herkennen van structuren. Bijvoorbeeld bij deze opgave uit de 3F-voorbeeldrekentoets:



Als je goed kijkt dan zijn dat 4 dagen van 8\(\frac{1}{2}\) uur en 1 dag van 7 uur. Daar moet dan nog wel 4 keer een pauze van \(\frac{3}{4}\) uur en een pauze van een \(\frac{1}{2}\) uur van af. De uitkomst dan nog even vermenigvuldigen met 4,80 euro... Hoe moeilijk kan dat zijn?

\((4\times8\frac{1}{2}+7-4\times\frac{3}{4}-\frac{1}{2})\times4,80=180\) euro

Als je goed uit je doppen kijkt dan valt het het nog best mee...:-)

woensdag 13 november 2013

Uren omrekenen

CASIO fx-CG 20

Via OPTN [>] ANGLE kan je gemakkelijk uren omrekenen in uren, minuten en seconden:



Dat kan natuurlijk ook zonder deze speciale functie van de rekenmachine:



2,58696 uur komt over een met 2 uur 35 minuten en 13 seconden.

zaterdag 9 november 2013

Hypercorrectie

We zaten zo 's wat te twitteren over meneer van Dale,  spellingsregels, Groningen, pannenkoeken en 'Assenpoester'. Het op het verkeerde moment toepassen van regels wordt wel hypercorrectie genoemd. Komt zoiets ook wel 's voor bij wiskunde?

Ik moest er even over nadenken, maar dat doen leerlingen natuurlijk wel 's. Bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras toepassen in een willekeurige driehoek. Dingen als sin(x)+sin(y)=sin(x+y)... noem maar op...:-)

Wat ik zelf een mooi voorbeeld vind is dat 'je moet niet breien' bij sommige leerlingen leidt tot het idee dat je helemaal nooit berekeningen op één regel moet zetten. Wiskundeleraren noemen iets 'breien' als je dingen schrijft als:

12 - 4 = 8 + 2 = 10 - 9 = 1

Dat is namelijk onzin. Je beweert dat 12 min 4 (uiteindelijk) gelijk is aan 1 en dat is niet zo. Als je meerdere berekeningen wilt uit voeren kan je beter steeds op een nieuwe regel beginnen en vooral geen onwaarheden roepen. Ik probeer leerlingen dat 'breien' zo snel mogelijk af te leren. Meestal lukt dat wel...

Soms roept een leerling 'breien' als het geen 'breien' is...

3² - 4 + 5 = 9 - 4 + 5 = 5 + 5 = 10

Daar is verder niet veel mis mee. Als je dat 'breien' vindt heb je 't toch nog niet helemaal begrepen...:-)

woensdag 6 november 2013

Handig rekenen

Iedereen heeft zo zijn eigen beelden bij 'rekenen'. Wat vroeger 'hoofdrekenen' was is voor de een nog steeds 'rekenen met je hoofd', maar voor anderen is het met 'pen en papier'. Nou ja... Ik bemoei me er maar niet mee. Dat laat ik graag aan anderen over. Maar om toch nog enigszins 'bij te dragen aan het debat' zal ik hier 's wat aan 'handig rekenen' doen.

Bij 't 'hoofdrekenen' gaat het niet om het 'rekenen' op een manier zoals je dat op papier zou doen. In je hoofd een staartdeling maken is lastig. Dat kan bijna niet de bedoeling zijn.

VOORBEELD

\(
\large 43 \times 17 + 57 \times 17 =
\)

't Is handig om eerst 43 en 57 op te tellen (dat is 100:-) en dat te vermenigvuldigen met 17, dat is dan 1700. Dat is een stuk handiger dan

\(
\large 43 \times 17 + 57 \times 17 = 731 + 969 = 1700
\)

De vraag is dan natuurlijk 'kan dat zo maar?' Dat kan zeker... handig wel:-)

ANDER VOORBEELD

\(
\large 8 \times 33\frac{1}{3} - 2 \times 66\frac{2}{3} =
\)

Wat is hier handig? Wel aan...

\(
\large 8 \times 33\frac{1}{3} - 2 \times 66\frac{2}{3} = 8 \times 33\frac{1}{3} - 4 \times 33\frac{1}{3} = 4 \times 33\frac{1}{3} = 133\frac{1}{3}
\)

...en dat kan uit je hoofd...

LAATSTE VOORBEELD

\(
\Large \frac{{13 \times 52}}{{169}} =
\)

Eerst 13 met 52 vermenigvuldigen en daarna delen door 169 is niet 'echt' handig. Dat kan beter:

\(
\Large \frac{{13 \times 52}}{{169}} = \frac{{52}}{{13}}\) = \(\large 4
\)

Je moet dan wel weten dat 169=13², maar dat is sowieso wel handig om te weten...

dinsdag 5 november 2013

Het statistisch onderzoek



Dat schiet niet op. Ik denk dat ik 't maar beter helemaal opnieuw kan doen. Dat maakt het wellicht ook breder inzetbaar.

Kijk daar staat ie...:-)

"Disclaimer: Het embedden van video's van de WiskundeAcademie is alleen toegestaan wanneer toestemming is verleend door de WiskundeAcademie. De video's maken deel uit van het auteursrecht..."

O ja? Op YouTube? En dan denken dat je... Ik geloof er niks van...:-)

zondag 3 november 2013

Hellingspercentage

Donald Duck
© Donald Duck - het vrolijke weekblad


Hierboven zie je een helling van 95%. Maar klopt dat wel? Hoe ziet een helling van 95% er eigenlijk uit?

153 schilderingen verdeeld over 17 rijen van elk 9 panelen

\( \LARGE\sum\limits_{k = 1}^{17} k = 153 \)

Wikipedia - St. Martin Zillis

zaterdag 2 november 2013

Gulden snede


In 1983 amateur mathematician George Odom discovered that if points A and B are the midpoints of sides EF and DE of an equilateral triangle, and line AB meets the circumscribing circle at C, then AB/BC = AC/AB = φ. Odom used this fact to construct a pentagon, which H.S.M. Coxeter published in the American Mathematical Monthly with the single word “Behold!”
bron

dinsdag 29 oktober 2013

Rekenregels of begrijpen waar je mee bezig bent?

Als je twee breuken wilt optellen dan maak je de breuken gelijknamig en dan kan je ze 'onder één noemer zetten' en optellen.

\(
\Large\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{14}}{{21}} + \frac{6}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}
\)

Daar zou je best een rekenregel voor kunnen verzinnen. Je kunt tellers en noemers kruislings vermenigvuldigen, die optellen en delen door het product van de noemers:

\(
\Large\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{2 \cdot 7 + 2 \cdot 3}}{{3 \cdot 7}} = \frac{{14 + 6}}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}
\)

Zo'n rekenregel voor het optellen van breuken kan handig zijn, bijvoorbeeld bij het onder één noemer zetten van gebroken termen met variabelen:

\(
\Large\frac{x}{{x - 1}} + \frac{{x^2 }}{{x + 3}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) + x^2 \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x^2 + 3x + x^3 - x^2 }}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x^3 + 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}
\)

Bij zo'n rekenregel hoef je dan verder niet na te denken. Het antwoord rolt er, als het ware, bijna vanzelf uit.

Toch kom je die rekenregel zelden tegen. Er is, denk ik , een goede reden om dat ook niet te willen. Het is veel handiger om gelijknamig te maken. Dat werkt bij formules hetzelfde als bij getallen, dus waarom zou je een rekenregel moeten leren als je die helemaal niet nodig hebt?

Rekenregels, stappenplannen en ezelsbruggetjes hebben de neiging te worden vergeten, verhaspeld of op het verkeerde moment van stal gehaald. Dat is ook iets wat je niet moet willen. Jammer is het wel. Ik vond het bij de gebroken termen wel handig ergens.:-)

Bij HAVO wiskunde B gebruiken we hier en daar ook een soort van rekenregels. Die regels kan je dan uit je hoofd leren en op het goede moment inzetten:



Maar zijn die nu eigenlijk noodzakelijk? Zou je niet gewoon moeten weten hoe dat werkt en zelf bedenken hoe 't zit bij die gebroken vergelijkingen? Zou dat niet veel beter zijn?

Als je eenmaal dingen begrijpt hoef je nooit bang te zijn dat je iets kwijt raakt. Het zit gewoon tussen je oren...:-)

maandag 28 oktober 2013

De stelling van Pythagoras

Je ziet hieronder een vierkant met daarbinnen nog een vierkant.



Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?

Hier zie je nog een vierkant met een kleiner vierkant.



Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?

Conclusie?

Staartdeling

zondag 20 oktober 2013

De ingeschreven cirkel

Waarom is het snijpunt van de bissectrices het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek?

q2916img1.gif

De cirkel met middelpunt M raakt aan AB, BC en AC. Dat betekent dat de afstand van M tot AB, BC en AC precies gelijk is. Dat is dan ook meteen de straal van de ingeschreven cirkel.

De bissectrice van \(\angle\)A is de verzameling punten die even ver van AC en AB af liggen.

q2916img2.gif

De bissectrice van \(\angle\)B is de verzameling punten die even ver van AB en BC af liggen.

q2916img3.gif

Het snijpunt van de twee bissectrices is het middelpunt M van de ingeschreven cirkel. Dit punt ligt op gelijke afstand van AC, AB en BC.

De omgeschreven cirkel

Waarom is het snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek?

q2915img1.gif

Het middelpunt M van de cirkel die door A, B en C van de driehoek gaat ligt op gelijke afstand van A, B en C. Die afstand is namelijk precies de straal van de cirkel. Een cirkel is immers de verzameling punten die op een bepaalde afstand van het middelpunt M liggen.

De middellloodlijn van twee punten A en B is de verzameling punten die op gelijke afstand liggen van de punten A en B.

q2915img2.gif

De punten van de middelloodlijn van B en C liggen op gelijke afstand van B en C.

q2915img3.gif

Het snijpunt van de middellloodlijn van A en B en de middelloodlijn van B en C ligt dus op gelijke afstand van A, B en C. Dat is dan het middelpunt M van de omgeschreven cirkel.

De som van de hoeken van een vierhoek

In de brugklas leer je van alles over hoeken. Je hebt scherpe hoeken, stompe hoeken, de rechte hoek en de gestrekte hoek. Je leert ook dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180°.

q2914img1.gif

Als ik aan bovenstaande driehoek nu 's een punt toevoeg dan krijg ik een vierhoek.

q2914img2.gif

Zoals je ziet is \(\angle\)D=180°. Dat is dus een gestrekte hoek. Dat is ook een hoek, Dus ABDC is wel degelijk een vierhoek.
  • De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.

zaterdag 19 oktober 2013

Maf rijtje

Er zwerft al enige tijd een aardig puzzeltje over het Internet...

In deze rij volgt aan het eind telkens hetzelfde getal x. Welk getal is x?
1, 11, 21, 32, 56, 1130, x, x, x, ...

Je moet 't maar 's oplossen...

donderdag 17 oktober 2013

Probleemaanpak klas 3

Ik heb een nieuwe leerroute voor klas 3 omtrent probleemaanpak. De digitale leerroute bestaat uit algemene informatie, een voorbeeld en 5 opdrachten.

1. Probleemaanpak
2. Een voorbeeld
3. Aanlegkosten
4. Schaakbord
5. Gemiddelde snelheid
6. Hangbrug
7. Eindopdracht

Ik moet alleen het voorbeeld nog invullen, maar voor de rest is het voor de bakker. Ja? Ja. Wat ja? Ja bakker...:-)

maandag 14 oktober 2013

ggd en kgv in asp...

function ggd(a,b)
   a = abs(a)
   b = abs(b)
   if a = 0 then
      ggd = b
   else 
      if b = 0 then
         ggd = a
      else 
         if a > b then
            ggd = ggd(b, a mod b)
         else
            ggd = ggd(a, b mod a)
         end if
      end if
   end if
end function

function kgv(a,b)
   kgv=a*b/ggd(a,b)
end function

zondag 13 oktober 2013

Deelbaar door 9

\(
n^3  + (n + 1)^3  + (n + 2)^3
\) is deelbaar door 9.

dinsdag 8 oktober 2013

Konijnennamen met een 'W"

WABBERTJE WALNOOT WAMPIE WANDA WARREL WASABI WEBSTER WENDY WHESLEY WHISEGUY WHISKEY WIBBE WIBI WIBO WIEDEWAAS WIJSNEUS WILDE WILLEM WILLOW WILLY WINKY WINNETOE WINNETOE WINNIE WINNIETOE WIPNEUS WIPNEUSJE WIPSTAART WIPWAPWOLLETJE WISKE WISKY WITHEY WITJE WITSNOETJE WIZZEL WIZZY WOBO WODKA WOEDIE WOEPS WÖLKCHEN WOLKE WOLKJE WOLLE WOLLETJE WOLLIE WOLLYBOL WOLLYWOB WOOPY WOPKE WOPPER WOPPY WUPPIE WUSCHEL
http://www.konijnen-namen.nl

Wiskunde en konijnen overzicht

De leerroute is zo goed als klaar. Hier en daar ben ik nog bezig met de eindopdrachten.

q8754img1.gif

We zijn benieuwd...:-)

maandag 7 oktober 2013

Proeven in Magister

Een nieuw idee is om de proeven in Magister te zetten. Leerlingen en ouders kunnen dan zien hoe 't zit allemaal...



Nou prima...:-)