donderdag 29 december 2016

Week 52

Wat is er bijzonder aan dit magisch vierkant?

q13057img7.gif


woensdag 28 december 2016

Gebroken exponenten en de rekenregels

Wat dacht je van?

\( \eqalign{\frac{2} {{\root 4 \of 8 }} = \frac{{\root 4 \of {16} }} {{\root 4 \of 8 }} = \root 4 \of 2} \)

Dat kan ook, maar dan heb je geen gebroken exponenten noch rekenregels nodig. Is dat handig of niet?

zaterdag 24 december 2016

Prettige kerstdagen



\( \eqalign{ & \frac{1} {t} = \frac{1} {a} \Rightarrow t = a \cr & \frac{1} {t} = \frac{1} {a} + \frac{1} {b} \Rightarrow t = \frac{{ab}} {{a + b}} \cr & \frac{1} {t} = \frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c} \Rightarrow t = \frac{{abc}} {{ab + ac + bc}} \cr & \frac{1} {t} = \frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c} + \frac{1} {d} \Rightarrow t = \frac{{abcd}} {{abc + abd + acd + bcd}} \cr} \)

Enzovoort...

woensdag 14 december 2016

Ik vertrouw op de Heer

Er zit een man tijdens een grote overstroming voor zijn huis. Er komt een vrouw in haar bootje langs en vraagt hem of hij hulp nodig heeft. “Nee, dank u”, zegt de man, “ik vertrouw op de Heer.”

Het water blijft maar stijgen. De man moet zelfs het dak op. Er komt weer een bootje langs, dit keer vol met mensen. Er wordt geroepen: “Stap in, er is nog plaats genoeg.” “Nee, bedankt”, zegt de man, “ik vertrouw op de Heer.”

Er komt een helikopter boven hem hangen en er wordt een touwladder uitgeworpen. “Nee, bedankt. Niet nodig”, roept de man, “ik vertrouw op de Heer”.

Het water stijgt zo hoog dat de man verdrinkt.

In de hemel gekomen vraagt de man aan God: “Waarom heeft U mij niet gered?”
Waarop God antwoordt: “Wat bedoel je? Ik heb twee keer een boot gestuurd en daarna nog een helikopter!”

Het kleinste gemene veelvoud...

Komt in de onderbouw GGD em KGV voor in de boeken? Maar zag ik dat wel een keer in de voortgangstoets van het CITO? Nou, hoe dan ook... In WisFaq kwam ik deze vraag tegen:
  • Wat is het kleinste gemene veelvoud (KGV) van 20 en 28? 
Wel een mooi inzichtelijk antwoord:
  • Schrijf de veelvouden van 20 op: 20, 40, 60, 80 ............
  • Schrijf de veelvouden van 28 op: 28, 56, 84, 112, ...........
  • Kijk welk getal je als eerste in beide rijen ziet staan. 
Maar ja... ik vind deze altijd zo leuk:

\(
\eqalign{kgv(a,b) = \frac{{ab}}
{{ggd(a,b)}}}
\)

Maar waar laat je het? Welaan, ik zet het maar hier neer.

Meer informatie:

dinsdag 13 december 2016

Hoogleraren

13 december 2016 - In 2015 steeg het aantal vrouwelijke hoogleraren met 0,9%. Het percentage universitair hoofddocenten steeg met 0,7 en het van universitair docenten met 1,6%. Met deze groei duurt het tot 2054 voor er een gelijke m/v-verdeling is onder hoogleraren, blijkt uit de Monitor Vrouwelijke Hoogleraren 2016.
  • Eh... sommetje?

zaterdag 10 december 2016

donderdag 8 december 2016

Wiskundeonderwijs

"Mathematics education is much more complicated than you expected even though you expected it to be more complicated than you expected" ...

woensdag 7 december 2016

Ruimtelijk inzicht

"Als je studenten die een exact vak doen vergelijkt met andere studenten, is er één groot verschil: ze scoren een stuk beter op ruimtelijke vaardigheden. Dus als we als maatschappij meer bèta’s nodig hebben, moeten we stimuleren dat kinderen dat ruimtelijk inzicht ontwikkelen."
bron

maandag 5 december 2016

Heeft herkansen zin?

q13422img3.gif

Volgens de formulekaart: "als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we 'het verschil is middelmatig'..." Maar ik word er wel een beetje blij van, ergens...:-)

zaterdag 3 december 2016

Week 49

q13057img6.gif

At a party of n people, some pair of people are friends with the same number of people at the party.

Tussenstand na SE3

q13398img3.gif

Dit is meer iets voor wiskunde A...:-)

q13398img2.gif

Heeft herkansen zin?

q13398img1.gif
Volgens de formulekaart van HAVO wiskunde A is het verschil gering.:-)

donderdag 1 december 2016

Week 48

q13057img5.gif

Laurien, Lennert en Lisanne gingen vogels observeren. Elk van hen zag één vogel die geen van de anderen zag. Elk van hen zag één vogel niet, die beide anderen wel zagen. En één vogel zagen ze alledrie. Van de vogels die Laurien zag, waren er twee geel. Van de vogels die Lennert zag, waren er drie geel. Van de vogels die Lisanne zag, waren er vier geel.
  • Hoeveel gele vogels werden er geobserveerd?
    (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
Vlaamse Wiskunde Olympiade

woensdag 30 november 2016

Nummer 10

Die opdracht bij (10) is lastig... maar niet onmogelijk...:-)



Kun je er dan verder mee?

Opbrengst 1e opdracht

Het blijft lastig...:-)

dinsdag 29 november 2016

Goniometrische vergelijkingen

In hoofdstuk 8 van Getal & Ruimte van HAVO wiskunde B leren leerlingen o.a. om goniometrische vergelijkingen op te lossen. Zie goniometrische vergelijkingen voor een overzicht. Dat valt nog niet eens mee. Maar deze week heb ik toch weer 's iets ontdekt dat mogelijkerwijs kan helpen.

In het SE stond deze opgave:

Opgave 6
Geef de exacte waarden van x met \(0 \leqslant x \leqslant 2\pi \)
  1. \(\cos (x) = \frac{1}{2}\sqrt 3\)
  2. \(\sin^2 (x + \frac{1}{3}\pi ) = 1\)
  3. \(\sin (\pi x) = \frac{1}{2}\sqrt 3\)
Het idee is dan dat leerlingen dat oplossen met de eenheidscirkel. Dat is nog steeds het plan, maar je kunt natuurlijk ook je GR inzetten!

Het idee!?

Voor het berekenen van de hoek zet je je GR in. Dat ziet er dan (bijvoorbeeld) zo uit:



Je hebt dan al de helft van het antwoord te pakken! Met de eenheidscirkel en de cosinuslijn kan je dan de 'andere hoek' bepalen. Je bent dan al een stuk op weg. Mijn idee is dat dit beter werkt dan alles uit je hoofd doen.

maandag 28 november 2016

zondag 27 november 2016

Dat is ook toevallig

Week 47

De rechthoekige driehoek raakt aan de cirkel.

q13057img4.gif
  • Bereken exact de oppervlakte van de cirkel.

zondag 13 november 2016

zaterdag 12 november 2016

WOiP

Naar aanleiding van 2. lineaire of eerstegraadsfunctie doet een leerling zoiets als:

q13360img1.gif

Wat is het nu? Een punt of een komma? Maar dit was niet het idee!
De opdracht is kennelijk niet helemaal gelukt...:-)
Wat dacht je hiervan?

q13360img2.gif

Maar dat kan veel handiger:

q13360img3.gif

  • Iets nieuws leren gaat niet vanzelf. Waarom zou je je ‘oude werkwijze’ veranderen als dat niet nodig is? Oppassen dus…
  • Doen de digitale leermiddelen wel wat nodig is? Ik vind dat je voor een komma een komma moet gebruiken en geen punt. Dit applet was niet geschikt om te checken of de nieuwe manier begrepen is. Je denkt dat dan wel los loopt, maar dat is niet zo. De vraag is dan of dat zou dan wel moeten… Misschien is het juist goed! Nu je ziet dat iedereen maar wat doet zou je daar dan ’s over na kunnen denken…:-)
  • Het zou handig zijn om de mogelijkheid te hebben om zelf opdrachten af- of goed te keuren en van commentaar voorzien. Prompte feedback dus. Dat werkt. Dat weet ik toevallig… dus dat is technisch allang mogelijk.
  • In ’t algemeen wordt de meeste tijd verprutst met technische middelen (die niet werken). Daarna wordt er mondjesmaat over de inhoud gepraat. Maar waar het nu eigenlijk om gaat komt eigenlijk nauwelijks aan bod…

vrijdag 11 november 2016

Week 45

q13353img1.gif

Op hoeveel manieren kan men 8 kaarten trekken uit een spel van 52 kaarten als er precies 3 azen en 4 harten in moeten zitten?

donderdag 10 november 2016

vrijdag 4 november 2016

Dat kan ook...

Toon aan: \(\frac{1}{3} \cdot {}^2\log \left( {4x - 2} \right) = {}^8\log \left( {4x - 2} \right)\)

Een mini-opdracht

Wat zijn merkwaardige producten?


Volgens Wikipedia:

De benaming merkwaardig product wordt in de algebra gebruikt om enkele producten aan te duiden die het (be)merken waard zijn, dus waarvan het goed is ze te onthouden.

Veel gebruikte merkwaardige producten zijn:

\( \begin{array}{l} \left( {a + b} \right)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ \left( {a - b} \right)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \\ \end{array} \)

Op de Wikipedia-pagina staan nog meer merkwaardige producten. Maar deze drie zijn al mooi genoeg...


Extra leeractiviteiten 5-plan nummer 1





Deze leerroute bestaat uit 10 voorbeeldopgaven uit de 3F-rekentoets. Bij de rekentoets geef je alleen je antwoord. In deze leerroute geef je bij alle opgaven ook je berekeningen. Je docent kijkt je werk na en kan je helpen de fouten te verbeteren. Als het goed is leer je daar van...

De vraag is 'hoe pak je nu zo'n rekenopgave aan?' Je kunt daarbij een aantal stappen onderscheiden. Als je die stappen neemt dan kom je er wel...

Het stappenplan:
  1. Lees het vraagstuk heel goed door.
  2. Kun je ergens een schets of een schema van maken?
  3. Wat moet je berekenen? Wat voor soort antwoord moet je geven?
  4. Welke geleerde wiskundige theorie kan je koppelen aan de vraag en de gegevens?
  5. Ga nu pas aan de slag met berekenen.
  6. Geef het eindantwoord.
  7. Controleer of het antwoord klopt. Heb je antwoord op de vraag gegeven? Heb je goed afgerond?
Maak de opgaven uit deze leerroute en zet je antwoorden in het tekstvlakken op de verschillende pagina's. Vergeet niet, zoals altijd, je berekening er bij te zetten.

Afspraken
  • Geef procenten (tenzij anders vermeld) in één decimaal nauwkeurig
  • Rond geldbedragen af op hele centen, tenzij anders gevraagd.
  • Geef in de leerroute je berekeningen en zorg dat je antwoord geeft op de vraag
1 punt 

Meer informatie achter slot en grendel kan je niet vinden op R. het 5-plan

Jippie:-)

\(\begin{array}{l} {\left( {1\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {1^2} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1 + 1 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}\\ {\left( {2\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 4 + 2 + \frac{1}{4} = 6\frac{1}{4}\\ {\left( {3\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {3 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {3^2} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 9 + 3 + \frac{1}{4} = 12\frac{1}{4}\\ ...\\ {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2} = {n^2} + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {n^2} + n + \frac{1}{4} \end{array}\)

donderdag 3 november 2016

Dat is niet helemaal gelukt...

Als een lijn door \(A\) en \(B\) gaat dan kan je ook op deze manier een vergelijking van die lijn opstellen:

\(\eqalign{a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)
\(\eqalign{f(x)=a(x-x_A)+y_A}\)

Maar kennelijk is dat niet helemaal gelukt...

 

Dat is ongeveer het idee. Je doet maar wat en als dat werkt dan is het goed. Ok... als het dan soms niet werkt dan maar niet. Meestal ging het goed... ok... 't is niet handig... kortom... een gemiste kans.



Makkelijker kunnen we 't niet maken... maar dan moet je 't wel oppikken...:-)

donderdag 27 oktober 2016

Voor de troepen vooruit lopen



Als je met mensen praat over onderwijs, leren en leerprocessen dan heeft iedereen daar (uiteraard) zo zijn eigen ideeën over. Mijn probleem is meestal dat ik dan steeds maar zit te denken dat wat iedereen ook roept dat mogelijk inderdaad een rol zou kunnen spelen maar het daar steeds maar niet om gaat. De vraag is dan natuurlijk waar gaat het nu eigenlijk om? Wat weten we er nu eigenlijk van? Wat is de essentie?
  • Maar ja... doe dat maar 's...:-)
Het probleem in het onderwijs is niet dat niemand iets leert. Iedereen leert altijd en overal, continue... Het probleem is alleen dat wat je leert meestal niet direct hetgeen is dat je geacht wordt te leren. In maatschappelijke zin hebben we bedacht dat leerlingen van alles moeten leren waar (waarschijnlijk) weinig leerlingen op zitten te wachten.
  • Dus... ik bedoel maar...:-)
Meestal gaat vakdidactiek over hoe je die wiskundige vaardigheden moet verwerven. Allerlei vragen die daar een rol spelen gaan over middelen, uitgangspunten en leerlijnen. Interessant allemaal... maar vrij nutteloos als leerlingen vooral bezig zijn om met zo min mogelijke inspanning maximaal resultaat op de toets te halen. Kom je dan in de examenklas niet in de problemen? Eh... ja dat wel maar met een beetje YouTube en examentraining kan je misschien zonder al te veel inspanning van de hersenen een voldoende halen. Daarna ben je er van af... denk je...:-)

zaterdag 22 oktober 2016

woensdag 19 oktober 2016

Week 42

Lara zegt tegen haar nichtje: ik ben tweemaal zo oud als jij was, toen ik zo oud was als jij nu bent. En als jij zo oud zal zijn als ik nu, dan zijn we samen 63 jaar.
  • Hoe oud zijn beide meisjes nu?

maandag 3 oktober 2016

zaterdag 1 oktober 2016

Zoek de olifant

Cantor's diagonal elephant

Q: What's big, grey, and proves the uncountability of the reals?
A: Cantor's diagonal elephant

dinsdag 27 september 2016

Jippie!

\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,P\,\,\,\,\,\,\,\,Q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P \Rightarrow Q \cr & \overline {\,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \,\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,W \cr & \underline {\,\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \cr & \neg \left( {P \Rightarrow Q} \right) \Leftrightarrow P \wedge \neg Q \cr} \)

maandag 26 september 2016

zaterdag 24 september 2016

Mooi sommetje...:-)


  • Getal & Ruimte klas 3 VWO hoofdstuk 2.

zondag 18 september 2016

Klas 4 wiskunde D



Wiskunde D? Wat moet je er mee? :-)
Op het ogenblik doe er niks mee, maar misschien heeft iemand er nog iets aan:
De groeten...:-)

Wat is dat nu?:-)

\( \int \left( - {20 \over \left(4 x\right) ^2 } + {5 \over 4 x}\right)dx = {5 \over 4} \log \left( \left|x\right|\right) + {5 \over 4 x} + C \)

zondag 11 september 2016

Wiskunde 3 HAVO en 3 VWO

Ik heb inmiddels de checklists en de samenvattingen voor klas 3 ook maar weer op wiskundeleraar.nl staan. Zolang er mensen zijn die er iets aan hebben lijkt me dat wel gerechtvaardigd. Alhoewel... eigenlijk niet natuurlijk. Ik ben Gekke Henkie niet... alhoewel... eigenlijk dus wel.
Of ga meteen naar:

woensdag 24 augustus 2016

Week 34

Twee ladders staan in een nauwe steeg die 12 meter breed is. Elke ladder staat van de voet van de ene muur schuin door de steeg tegen de andere muur. Ze vormen zo samen een X-vorm (zie figuur). De ene ladder is 13 meter lang, en de andere 20 meter.
  • Op welke hoogte raken de ladders elkaar?


Er zijn nog veel meer vergelijkbare en vragen die net weer heel anders gaan over ladders in een steeg.

donderdag 18 augustus 2016

Het tankstation

Er zijn verschillende varianten van optimaliseringsproblemen die met differentiëren kunnen worden opgelost. De kunst is dan om een formule te bedenken waarmee je (afhankelijk van een variabele) de totale kosten kan berekenen. Zoek het minimum.

Dit is daar een mooi voorbeeld van:

q82717img1.gif
  • Een tankstation ligt aan één kant van een rivier van 0,5 km breed. Aan de andere kant van de rivier en 1 km verder stroomafwaarts bevindt zich een bedrijf. Het leggen van pijpleidingen over land kost 300.000 euro/km en onder water 500.000 euro/km. Zoek de voordeligste manier om het bedrijf en het tankstation met pijpleidingen te verbinden.
Oplossing

Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.

De formule:

\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)

Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?

De afgeleide:

\(\eqalign{
  & {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}   \cr
  & {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot  - 1  \cr
  & {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)

Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:

\(\eqalign{
  & 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0  \cr
  & 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} =   \cr
  & 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3  \cr
  & \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5}  \cr
  & 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25}   \cr
  & {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right)  \cr
  & 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4}  \cr
  & 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9  \cr
  & 64{x^2} - 128x + 55 = 0  \cr
  & (8x - 5)(8x - 11) = 0  \cr
  & x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.)  \cr
  & x = \frac{5}{8} \cr}\)