vrijdag 20 april 2018

Week 25

q14084img9.gif

Gegeven de balk \(ABCD.EFGH\) met \(AB=2\), \(BC=2\) en \(AE=4\). \(P\) ligt op het midden van \(AB\), \(Q\) ligt op het midden van \(BC\) en \(R\) ligt op het midden van \(GH\).
  • Bereken de oppervlakte van \(\Delta PQR\)

dinsdag 17 april 2018

Week 24

q14084img8.gif 
  • Bereken exact de lengte van OB.

donderdag 12 april 2018

Tips en truuks

Herleiden

\( \eqalign{ & 27^{ - \frac{x} {3}} + 81^{\frac{{1 - x}} {4}} = \cr & \left( {3^3 } \right)^{ - \frac{x} {3}} + \left( {3^4 } \right)^{\frac{{1 - x}} {4}} = \cr & 3^{3 \cdot - \frac{x} {3}} + 3^{4 \cdot \frac{{1 - x}} {4}} = \cr & 3^{ - x} + 3^{1 - x} = \cr & 3^{ - x} + 3 \cdot 3^{ - x} = \cr & 4 \cdot 3^{ - x} = \cr & \frac{4} {{3^x }} \cr} \)

woensdag 11 april 2018

Week 23

q14084img7.gif
  • Welke oppervlakte is groter? Rood of groen?

Symbol sense of beroepsdeformatie?:-)

Een puzzel:
"Een vader, zijn zoon en zijn dochter zijn samen 44 jaar. De vader is viermaal zo oud als de zoon en deze laatste is tweemaal zo oud als de dochter. Hoe oud is iedereen?"
Een beetje wiskundedocent voert een aantal variabelen in, stelt een aantal vergelijkingen op, lost het stelsel op en klaar is Kees/Klara...

Maar noodzakelijk is dat niet...

De leeftijden verhouden zich als 8:2:1. Samen moet dat 44 zijn, je moet delen door 11 dus de leeftijden zijn achtereenvolgens: 8·4=32, 2·4=8 en 4 jaar oud.

Daar komt geen variabele aan te pas...:-)

dinsdag 10 april 2018

Alle wiskundeactiviteiten van wiskundeleraar

 Afronden 
 Algebraische vaardigheden (B) 
 Alles op een rijtje? 
 Basisvaardigheden algebra 
 Basisvaardigheden herleiden en ontbinden 
 Breuken 
 Combinaties en permutaties (A) 
 De boom van Pythagoras (B) 
 De inhoud van een vuilniszak 
 De maximale inhoud van een kegel (B) 
 De rekentoets 
 De som en het product van twee getallen (B) 
 De stelling van Pythagoras 
 Doorsneden tekenen 
 Doorzien klas 2 mavo 
 Drie- en vierhoeken 
 Een regelmatige vlakvulling maken 
 Effectiviteit van een verpakking 
 Eiertangram 
 Formules maken bij lijnen (A) 
 Formules met haakjes 
 Formules met machten (B) 
 Functies raden (B) 
 Functies raden varia (A) 
 Gebroken vergelijkingen (B) 
 Goniometrie (HAVO) 
 Goniometrie (VWO) 
 Goniometrie van klas 3 (B) 
 Grafieken en vergelijkingen  
 Handig knopje op je rekenmachine 
 Hellingspercentages en skipistes 
 Het handenschudprobleem 
 Het herkennen van verbanden 
 Het product van twee tweetermen 
 Hogeremachtsvergelijkingen (B) 
 Inleiding telproblemen (A/D) 
 Klokkijken 
 Kwadraatafsplitsen 
 Kwadraatafsplitsen (B) 
 Kwadratische vergelijkingen 
 Kwadratische vergelijkingen 
 Lijnen en vergelijkingen 
 Lijnen en vergelijkingen 
 Lijnen van betekenis 
 Lineaire problemen 
 Lineaire vergelijkingen 
 Lineaire vergelijkingen (B) 
 Meer telproblemen (A) 
 Merkwaardige producten 
 Nul is niet niks 
 Oefenen kwadratische vergelijkingen (B) 
 Oefeningen kansrekenen (A) 
 Ons zonnestelsel 
 Oppervlakte berekenen 
 Oppervlakte van driehoeken 
 Probleemaanpak (B) 
 Probleemaanpak klas 3 
 Procenten (A) 
 Procenten klas 3 
 Project 23 
 Project x 
 Regelmatige veelvlakken 
 Rekenen HAVO 4 
 Rekenen met wortels (B) 
 Rekenregels differentiëren (B) 
 Ruimtelijk kijken 
 Schaakbordpuzzel 
 Sinus- en cosinusregel 
 Statistisch onderzoek (A) 
 Symmetrie en logo`s 
 Tabellen maken met je fx-82ES 
 The President`s Proof  
 Tovervierkanten 
 Transformaties van grafieken (B) 
 Vergelijkingen bordjesmethode (B) 
 Vlakke figuren 
 Voorkennis hoofdstuk 4 (B) 
 Vragen uit de wetenschapsquiz (A) 
 Wat is relatief? (A) 
 Wat klopt er niet aan deze tekening? 
 Wat zijn logaritmen? (B) 
 Welk figuur staat onder het vraagteken? 
 Welke boxplot hoort bij welke grafiek? 
 Werken met Geogebra 
 Wiskunde A, B of D 
 Wiskunde A, B, C of D 
 Wiskunde en konijnen (A) 
 Wortels en tekendriehoeken 
 Wortels waar of niet waar (B) 
 Zelf problemen met oplossingen bedenken

Alle werkruimten van wiskundeleraar.nl

 Algemeen
 Ontwerpopdracht
 Procenten
 Rekenen 3F
 Vragen uit de rekentoets 2
 Wiskunde portfolio
 Afke`s elftal
 Alle gebruikers
 Analyse+
 Basisvaardigheden algebra
 Bewijzen in de vlakke meetkunde
 Bezemklas 2
 Bezemklas 3E
 Breuken
 BYOD-project
 De digitale bijles
 De grafische rekenmachine
 De gulden snede
 Differentiëren in de klas
 Docenten
 DWO-project
 Een regelmatige vlakvulling maken
 Excel
 Experiment taakgerichte instructie
 HAVO 4 wiskunde A
 HAVO 4 wiskunde A 2014-2015
 HAVO 4 wiskunde A oud
 HAVO 4 wiskunde B
 HAVO 4 wiskunde B 2014-2015
 HAVO 4 wiskunde B oud
 HAVO 4 wiskunde D
 HAVO 5 wiskunde B oud
 HAVO wiskunde A statistiek
 Heldere leerlijnen
 HML
 ICT algemeen
 Klankbordgroep ICT
 Klas 2
 Klas 2A van 2012-2013
 klas 2c 2013-2014
 Klas 3
 Klas 3A havo vwo
 klas 3b 2013-2014
 Klas 3B van 2012-2013
 Klas 3C van 2014-2015
 Klas 4 HAVO wiskunde A
 Klas 4 HAVO wiskunde B
 Klas 4 HAVO wiskunde D
 Klas 4 VWO wiskunde D
 Klas 5 HAVO wiskunde A
 Klas 5 HAVO wiskunde B
 LeerKRACHT
 MAVO
 Mijn studie
 Mijn werkruimte
 MOOC
 Oudstudenten
 Portfolio
 Praktische opdracht wiskunde B
 Probleemaanpak
 Probleemaanpak klas 3
 Probleemaanpak pilot
 Probleemaanpak praktische opdracht
 Project 23
 Project 23 oud
 Rekenen HAVO 4 2015-2016
 Rekentoets
 Repliek
 Schooljaar 2015-2016
 Statistisch onderzoek
 Taal van de wiskunde
 Thema-avond over toetsen
 Vakdidactiek
 VWO 4 wiskunde A
 VWO 4 wiskunde D
 Vwo werkgroep
 Wat is een konijn in het kwadraat?
 Website
 Weekpuzzels
 Werkplaats
 WisKast
 Wiskunde ABCD
 Wiskunde en architectuur
 Wiskunde en cultuur 2-3
 Wiskunde en konijnen
 Wiskunde en konijnen oud
 Wiskunde en kunst
 Wiskunde en leergebieden
 Wiskunde en leergebieden voltijd

Wat is de zijde van het vierkant?

q14155img1.gif

zaterdag 7 april 2018

vrijdag 6 april 2018

Wat is de straal van de kleine cirkel?

Wat is de maximale lengte?

Heldere momenten

Kort samengevat: het curriculum voor #wiskunde is volstrekt van ondergeschikt belang. Ik heb de laatste 30 jaar allerlei wijziging van dichtbij meegemaakt en 't maakt allemaal geen **** uit... Het gaat om de groenten niet om het paard-en-wagen... #jippie

...en voor de jeugd... de groenteman kwam vroeger door de straat met een paard en wagen... dat weet ik nog wel...:-) google.nl/search?q=de+pa…

...alhoewel.... het kan ook de schillenboer zijn geweest... :-)

Ik had me nog zo voorgenomen me niet te bemoeien met dat @Curriculum_nu - maar ja... af en toe heb ik ook zwakke momenten...:-)

donderdag 5 april 2018

Project WisFaq



Sinds kort kan je via wiskundeleraar direct een vraag stellen in WisFaq. Hieronder zie je daar voorbeelden van:
Dit lijstje wordt eventueel nog verder uitgebreid.



Naschrift
Op deze pagina kan je zien hoe dat er dan uit ziet.

woensdag 4 april 2018

Met de GR:-)

Breuken

\( 1\frac{1}{2} \cdot 9\frac{3}{5} = 9\frac{3}{5} + 4\frac{1}{2} + \frac{3}{{10}} = 9\frac{6}{{10}} + 4\frac{5}{{10}} + \frac{3}{{10}} = 13\frac{{14}}{{10}} = 14\frac{4}{{10}} = 14\frac{2}{5} \)

dinsdag 3 april 2018

Week 22

In een natuurgebied worden vijf jonge dieren van een bedreigde soort losgelaten. Ieder diertje heeft een kans van 90% om te overleven in het eerste jaar. Pas na het eerste jaar zijn de dieren geslachtsrijp, en er waren vooraf geen andere dieren van dezelfde soort aanwezig in het gebied.

Na het eerste jaar wil men nagaan hoeveel dieren nog in leven zijn. Daartoe vangt men het eerste dier dat men tegenkomt, om het te merken en dan weer los te laten. Een week later herhaalt men die procedure op een andere plaats in het gebied. Het eerste dier dat men tegenkomt blijkt het gemerkte dier te zijn.
  • Hoe groot is de kans dat ten minste 1 van de dieren gestorven is?

zondag 1 april 2018

Voorbeeld partieel integreren


Vraag

Hoe primitiveer je \(f(x)=(1+ax)e^{ax}\)?


Uitwerking

De functie \(f\) bestaat uit twee functies. We gaan partieel integreren.

Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:

\(
\int {f(x)g'\left( x \right)} \,dx = f\left( x \right) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx}
\)

De vraag is dan welke functie ik als \(g'\) ga gebruiken. Het ligt dan voor de hand om \(
\eqalign{g(x)={\frac{1}
{a}e^{ax} }}
\) te nemen.

Neem:

\( \eqalign{ & f(x) = 1 + ax \cr & f'(x) = a \cr & g(x) = \frac{1} {a}e^{ax} \cr} \)

Dat geeft:

\(
\eqalign{
& \int {\left( {1 + ax} \right) \cdot e^{ax} } dx = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \int {\frac{1}
{a}e^{ax} \cdot a\,\,dx} = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \int {e^{ax} dx} = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \frac{1}
{a}e^{ax} = xe^{ax} \cr}
\)


De worteltruuk

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{5 - \sqrt {x^2 + 16} }} {{3 - x}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x^2 + 16} - 5}} {{x - 3}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x^2 + 16} - 5}} {{x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt {x^2 + 16} + 5}} {{\sqrt {x^2 + 16} + 5}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x^2 + 16 - 25}} {{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x^2 + 16} + 5} \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x^2 - 9}} {{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x^2 + 16} + 5} \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} {{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x^2 + 16} + 5} \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 3}} {{\sqrt {x^2 + 16} + 5}} = \frac{6} {{\sqrt {3^2 + 16} + 5}} = \frac{3} {5} \cr} \)

zaterdag 31 maart 2018

MathType toolbar

Problem:
The information in this document applies to:
  • MathType for Windows 
Issue
  • The MathType toolbar used to be attached to the main MathType window, but now is floating and won't re-dock and attach to the main window: 
Reason
  • It's easy to undock the toolbar without realizing it. The toolbar should re-dock by double-clicking its title bar (identified by the word "Equation" above), but it doesn't. This will be addressed in MathType 7. 
Solution 
  • To re-dock the toolbar, use the shortcut Ctrl+Alt+D.
Naschrift
Je kunt ook dubbelklikken op de toolbar... dat werkt ook...:-) 

Week 21


‘Een goedemorgen, meneer Hofmeester. Weet u misschien hoe laat het is?’ Meneer Hofmeester, die zijn antwoorden altijd als raadsel verpakt, antwoordt: ‘Jazeker, als u een kwart van de tijd van middernacht tot nu optelt bij de helft van de tijd van nu  tot middernacht, heeft u precies de juiste tijd.’
  • Hoe laat is het nu?

Week 20

q8569img1.gif

In een doos zitten 25 knikkers van 5 verschillende kleuren en verschillende aantallen per kleur. Altijd als je er 20 uit pakt, heb je er minstens 10 blauwe bij.
  • Hoeveel knikkers zijn er van elke kleur?

zaterdag 24 maart 2018

Week 19

q14084img4.gif
  •  In de figuren moeten alle cijfers van 1 t/m 9 voorkomen. Gelijke letters zijn gelijke cijfers. Maak de berekeningen kloppend.


https://www.pyth.eu/nootjes

dinsdag 20 maart 2018

Week 18

q14084img3.gif
  • Bereken de lengte van BQ.

maandag 19 maart 2018

Week 17

q14084img2.gif
Gegeven is een halve cirkel.
  • Bereken de lengte van het lijnstuk met het vraagteken.

zaterdag 17 maart 2018

Week 16

q14084img1.gif

Je ziet hier 3 vierkanten van 1 bij 1 in een gelijkzijdige driehoek.
  • Bereken exact de lengte van de zijde van de driehoek.

donderdag 15 maart 2018

Week 15

q13681img6.gif

Piet gooit met 3 dobbelstenen.
  • Bereken exact de kans dat de som van de ogen minder dan 7 is?

woensdag 14 maart 2018

Week 14

Met de cijfers 0 tot 9 mag je getallen vormen bestaande uit 5 verschillende cijfers.  Deze getallen mogen natuurlijk niet beginnen met 0.
  • Hoeveel van deze getallen zijn deelbaar door 5 en bevatten het cijfer 8?

Week 13


Raaklijnen

Gegeven is de functie \(f(x) = (5-2x)e^x\). Er zijn twee lijnen door het punt \((3,0)\) die de grafiek van \(f\) raken.
  • Stel van elk van deze lijnen langs algebraïsche weg de formule op.


De 'algemene formule' voor de lijnen door het punt \((3,0)\) is gelijk aan \(y=a·(x-3)\). Snijden met \(f\) zou 'mogelijke raakpunten' moeten geven. De punten waarbij \(a\) gelijk is aan de afgeleide in zo'n punt is dan een raaklijn.

Met de afgeleide kan je \(a\) uit drukken in \(x\). Substiueren geeft een vergelijking waarmee je raakpunten kunt bepalen. Hoe moeilijk kan dat zijn?

De afgeleide:

\(
\begin{array}{l}
 f(x) = (5 - 2x)e^x  \\
 f'(x) =  - 2e^x  + (5 - 2x)e^x  \\
 f'(x) = \left( {3 - 2x} \right)e^x  \\
 \end{array}
\)

Dat geeft:

\(
a = \left( {3 - 2x} \right)e^x
\)

Invullen:

\(
\begin{array}{l}
 (5 - 2x)e^x  = a(x - 3) \\
 (5 - 2x)e^x  = \left( {3 - 2x} \right)e^x  \cdot (x - 3) \\
 5 - 2x = \left( {3 - 2x} \right)(x - 3) \\
 5 - 2x =  - 2x^2  + 9x - 9 \\
 2x^2  - 11x + 14 = 0 \\
 2x^2  - 4x - 7x + 14 = 0 \\
 2x(x - 2) - 7(x - 2) = 0 \\
 (2x - 7)(x - 2) = 0 \\
 x = 3\frac{1}{2} \vee x = 2 \\
 \end{array}
\)

Bereken de bijbehorende waarden voor \(a\):

\(
\begin{array}{l}
 a_1  = \left( {3 - 2 \cdot 3\frac{1}{2}} \right)e^{3\frac{1}{2}}  =  - 4\sqrt {e^7 }  \\
 y_1  =  - 4\sqrt {e^7 } \left( {x - 3} \right) \\
 a_2  = \left( {3 - 2 \cdot 2} \right)e^2  =  - e^2  \\
 y_2  =  - e^2 \left( {x - 3} \right) \\
 \end{array}
\)

Opgelost!



On top of Hyrule Castle

dinsdag 27 februari 2018

Week 12

Gegeven: zijn drie punten op een lijn A( 19, -8), B(13, 1) en C(9, c).
  • Bereken c.

De wijzers van de klok

In het boek voor de 1e klas komen opgaven voor waarbij de leerlingen de hoek moeten berekenen tussen de wijzers van de klok op een bepaalde tijd.



  • Bereken de hoek tussen de grote en kleine wijzer om 9 minuten over 1.

't Is een grappig probleem. De grote wijzer gaat natuurlijk sneller dan de kleine wijzer, maar om 13:09 is de kleine wijzer ook een stukje gedraaid.

In WisFaq heb ik op graden van de klok er al een vraag over beantwoord. Sommige mensen vragen zich misschien wel af wat daar nu precies het nut van is.

Wat is het nut?

Ik denk dat de praktische toepasbaarheid van deze vaardigheid niet erg groot is. Het draagt waarschijnlijk niet op de korte termijn bij aan versterking van de economie....:-)

Maar in vakdidactische zin lijkt het me wel een nuttige activiteit. Ik gebruik het 'wijzershoekenprobleem' misschien nog wel een keer in HAVO 4 wiskunde B. Het is (denk ik) voor de eerste klas een leuke manier om naar hoeken te kijken en naar periodieke verschijnselen.

Daarnaast vind ik het mooi voorbeeld van een 'schier onoplosbaar probleem' dat met eenvoudige wiskundige middelen goed op te lossen is. Dat is toch ook wat waard...

Wat is een handige aanpak?

voorbeeld

  • Hoe bereken je de graden van een klok om 10:08?

uitwerking
Om 10:08 maakt de grote wijzer een hoek van 48° en de kleine wijzer een hoek van 304° ten opzichte van 12 uur.

q83377img1.gif

Bedenk daarbij:
  • de grote wijzer draait 6° per minuut
  • de kleine wijzer draait \(\frac{1}{2}\)° per minuut.
Nog een beetje rekenen en je bent er...

Waar gaat het om?

Je zou denken dat, als leerlingen nu de hoek tussen de wijzers kunnen uitrekenen, we iets hebben bereikt. Maar nee hoor, daar gaat het (natuurlijk) niet om. Het is wel leuk, je kunt toetsen of ze dat inderdaad kunnen maar... 

Of zou de bedoeling zijn om iets te anders te leren? Problemen aan te pakken bijvoorbeeld of een voorbeeld hebben gezien van een wiskundige houding? Denkacitiviteiten? In al die gevallen zou je ook anders moeten gaan toetsen. Je zou een ander probleem kunnen stellen die een andere oplossing vraag, maar waarbij je wel de kennis en vaardigheden nodig hebt die je bij de 'wijzers van de klok' hebt opgedaan of geoefend...

Als de leerlingen dat kunnen dan hebben ze iets geleerd...

Opgave


  • Bereken de hoek van de grote en de kleine wijzer van een klok om 18:12.

maandag 26 februari 2018

Drie punten op een lijn

Gegeven: zijn drie punten op een lijn A( 19, -8), B(13, 1) en C(9, c).
  • Bereken c.

  • Hoe zou je dat (handig) berekenen? 


\(
\eqalign{
  & a = \frac{{1 -  - 8}}
{{13 - 19}} = \frac{9}
{{ - 6}} =  - 1\frac{1}
{2}  \cr
  & y =  - 1\frac{1}
{2}\left( {x - 9} \right) + c  \cr
  & 1 =  - 1\frac{1}
{2}\left( {13 - 9} \right) + c  \cr
  & c = 7 \cr}
\)

zaterdag 24 februari 2018

Ook leuk

\( \eqalign{ & \left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2 \cr & 3 + \sqrt 5 + 2\sqrt {3 + \sqrt 5 } \cdot \sqrt {3 - \sqrt 5 } + 3 - \sqrt 5 \cr & 6 + 2\sqrt {3 + \sqrt 5 } \cdot \sqrt {3 - \sqrt 5 } \cr & 6 + 2\sqrt {9 - 5} \cr & 6 + 2\sqrt 4 \cr & 10 \cr} \)

dinsdag 20 februari 2018

zondag 18 februari 2018

Week 10



Op een fruitschaal liggen appels, peren en kiwi's in de verhouding 8:5:4. Er zijn 15 appels meer dan peren. Hoeveel kiwi's zijn er?

Week 9


ABCDE is een regelmatige vijfhoek met middelpunt M waarbij |AP| = \(\frac{1}{4}\)|AB| en |BN| = \(\frac{1}{3}\)|BC|.
  • Wat is de verhouding van de gearceerde oppervlakte tot de totale oppervlakte van de vijfhoek?
JWO 2007 Tweede ronde, Probleem 23 Vlaamse Wiskunde Olympiade

Begrip en inzicht

"In mathematics you don't understand things. You just get used to them."
John von Neumann"

Het doel van wiskundonderwijs zou je vooral moeten zoeken in het verwerven van een wiskundige houding.
  • Sommige mensen vinden dat je bij wiskunde dingen leert waar je eigenlijk niet zo veel aan hebt. Wie lost er na de middelbare school nog een vergelijking op?
Dat is een verkeerd uitgangspunt. Het gaat uiteindelijk niet zo zeer om het kunnen oplossen van allerlei soorten vergelijkingen (hoewel dat ook wel handig kan zijn) maar om het redeneren, het soort problemen dat je tegenkomt en hoe je die op kan lossen, de mogelijkheid om abstracte structuren te bestuderen, het leren redeneren, het kritisch leren kijken naar gegevens, omgaan met waarheid, logica en zekerheden.

Je mag hopen dat de vaardigheden en kennis die je opdoet bij het leren oplossen van bijvoorbeeld vergelijkingen ook zijn weerslag heeft op andere menselijke bezigheden. Maar is dat wel zo?

Bij het lesmateriaal moet je proberen uit te zoomen! Hoe past dit lesmateriaal in de lange leerlijn omtrent het verwerven van die hogere kennis, begrip en inzicht? Draagt het daar aan bij? Geeft het goede leerlingen de mogelijkheden om zich te verdiepen? Is er een 'waarneembare neiging' naar meer begrip en meer abstractie?

Wiskunde leren heeft te maken heeft met begrip en inzicht. Hoe zit dat precies in elkaar? Bestaat er zoiets als begrip of inzicht? Wat is dat dan? Kan je dat leren? Kan je dat meten? Of zijn begrip en inzicht misschien een verzameling van allerlei andere dingen als ervaring, een goed geheugen of andere algemene vaardigheden?

Kortom? Wat zou het zijn? Moet je daar als leraar iets mee? Nee? Of Ja? En zo ja, wat moet je er dan mee?


vrijdag 16 februari 2018

Voorkennis, algebra, probleemaanpak, begrip en inzicht

Op Weekpuzzels 2017 deel 2 stond een aardige opgave:



Op Oplossing week 23 staat ook een uitwerkingen van de oplossing. Op de uitwerking van de Wiskunde Academie was nog wel iets op te merken in het kader van wortels in de noemer.

De vraag is nu 'hoe pak je deze opgave aan?' en met welk 'begrip en inzicht' hebben we hier van doen?

Aanpak

In de oplossing staat niets over hoe je deze opgave aanpakt. Kennelijk heb ik iets gedaan met verhoudingen. Maar hoe kom je er op?

Voor het berekenen van de oppervlakte heb ik de lengte van een zijde en de bijbehorende hoogte nodig. Als AB=8 en ik zou de lengte van CD kennen dan was ik er al. Maar CD ken ik niet dus laat ik de lengte van CD dan x noemen.

Als CD=x dan is AD=x wegens de 45-45-90-tekendriehoek ADC. Je kunt nu DB uitdrukken in x zodat je in de 30-60-90-driehoek DBC de twee rechthoekszijden kan uitdrukken in x. In zo'n driehoek ken ik immers de verhoudingen van de zijden.

Die eigenschappen van de tekendriehoeken is de kennis die je nodig hebt. De aanpak is om vanuit de kennis een plan te maken. Wat weet ik eigenlijk van rechthoekige driehoeken met de hoeken zoals die gegeven zijn...

Je kunt nu een verhoudingstabel opstellen voor driehoek DBC. Met DB=8-x en CD=x in de verhouding 1:√3 kan je waarde van x berekenen. De oppervlakte van driehoek ABC volgt spoedig daarna...:-)

Begrip en inzicht

De oppervlakte van een willekeurige driehoek, werken met tekendriehoeken, een vergelijking opstellen, vergelijkingen oplossen, rekenen met wortels, ... Als dat allemaal lukt ben je (als docent) waarschijnlijk al blij. In dat geval zijn als die wiskundelessen niet voor niets geweest.

In de praktijk doen zich mogelijkerwijs de volgende problemen voor:
  • De leerlingen lijken niet de beschikking te hebben over de noodzakelijk kennis uit de onderbouw
  • Leerlingen hebben niet geleerd om problemen aan te pakken
  • Leerlingen lopen vast op de algebra
Het ligt voor de hand je als docent dan vooral te richten op de kennis en vaardigheden maar is dat wel de oplossing!? Wat is eigenlijk precies het probleem?

Voorkennis

Je zou de voorkennis kunnen indelen in kennen, kunnen en begrijpen. Je moet begrijpen wat de oppervlakte van een driehoek is, hoe je, bij gegeven afmetingen, de oppervlakte uit zou kunnen rekenen en misschien moet je ook de formule wel kennen. Iets met tekendriehoeken... een portie algebra... maar... waarschijnlijk is het veel belangrijker hoe je dit soort problemen aan kan pakken.

Probleemaanpak

Bij probleemaanpak zet je de instrumenten in die je in de onderbouw hebt geleerd. Dat was het plan. De kunst is om te herkennen hoe je je probleem kunt vertalen naar wiskunde, vervolgens aan de slag met de wiskunde om het probleem op te lossen om vervolgens je oplossing te vertalen naar je probleem. Daar is NIETS mis mee. Op dit weblog kan je daar meer over vinden.

Algebra

Als je eenmaal op de juiste uitdrukking bent gekomen dan kan je de zaak verder uitwerken. Die (algebraische) vaardigheden die je daar voor nodig hebt zouden (halverwege de 4e klas) aanwezig moeten zijn.

Conclusie

Voor dit soort opgave is er heel wat nodig aan kennis en vaardigheden. Het zijn (volgens mij) complexe bezigheden. Hier komt alles samen: kennen, kunnen en begrijpen. Inderdaad, maar hoe kan je dat leren? Dat is niet zo eenvoudig als sommigen van ons willen doen geloven. Het gaat niet alleen om algebraische vaardigheden, maar ook over probleemaanpak, atitude en begrip en inzicht. Wat is hier geboden? Hoe pak ik dit aan? Wat zit er achter? Hoe kan je dat leren?

maandag 5 februari 2018

Ontbinden in factoren

\( \eqalign{ & 3x^2 + 4x + 1 \cr & 3x^2 + x + 3x + 1 \cr & 3x(x + 1) + 3x + 1 \cr & (3x + 1)(x + 1) \cr} \)

maandag 29 januari 2018

ICTklas nieuw

q8821img1.gif

"The goal is to let the computer do the more basic things, to get the teachers to help kids learn to do higher order things"


  • Berekeningen op het basisscherm, Equation, Graph,  Recursion, Run-Matrix, Statistics, Table,  User Name, enz.
 


  • Hier kan je allerlei hulpmiddelen, schermpjes, software, e.d. vinden:
    • Ruitjesbord
    • Normale verdeling
    • Kubus
    • Statistiek
    • Enz....


De Digitale WiskundeOmgeving
  • In de DWO is veel oefenmateriaal beschikbaar. Dit materiaal is onderverdeeld in vier onderwerpen: Meetkunde, Rekenen, Vergelijkingen en ongelijkheden en Formules, functies en grafieken. Naast dit oefenmateriaal zijn er ook diverse volledige lessen en lessenseries beschikbaar, die kunnen worden gebruikt als aanvulling op of zelfs vervanging van het reguliere boek.

zondag 28 januari 2018

Week 8

q14031img4.gif

Aan een hondenshow doen 98 honden mee, Er zijn kleine honden en grote honden. Er zijn 36 meer kleine dan grote honden.
  • Hoeveel grote honden doen er mee aan de show?

donderdag 25 januari 2018

Week 7

q14031img1.gif

Een vervoersonderneming beschikt over 100 vrachtwagens. Men schildert op deze wagens volgnummers van 1 tot en met 100.
  • Hoeveel maal wordt het cijfer 2 geschilderd?

woensdag 24 januari 2018

Week 6

q14031img1.gif

Je hebt vijf getallen. Als je er telkens twee bij elkaar optelt, krijg je de volgende antwoorden: 0, 1, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 en 12. Wat zijn de vijf getallen?

dinsdag 23 januari 2018

Week 5

q14031img1.gif

  • Voor hoeveel natuurlijke getallen van 3 cijfers is het middelste cijfer het gemiddelde van de 2 overige cijfers?

maandag 22 januari 2018

Week 4

q14031img3.gif

De bemanning van een zeilschip bestaat uit 25 personen. Toen het schip een haven binnenliep had de kok nog voor 8 dagen proviand. Onverwacht stapten 5 bemanningsleden af.
  • Hoe lang kon de kok nog met de voorraden toe?

dinsdag 16 januari 2018

Week 3

q14031img2.gifq14031img2.gifq14031img2.gif

Je hebt per ongeluk 3 lege batterijen in een doos met goede batterijen van het type AAA 1,5V gedaan. Die doos bevat nu 10 batterijen. Je hebt 4 nieuwe batterijen nodig voor je grafische rekenmachine. Je neemt willekeurig een batterij uit de doos, test deze en legt ze apart. Zodra je vier goede batterijen hebt stop je.
  • Wat is nu de kans dat je 4 goede batterijen hebt na exact vijfmaal testen van een batterij?

donderdag 11 januari 2018

Week 2

q14031img1.gif

If the sum of the digits of a two digit number is 7, then what are those digits when the reversed is 9 more than the original?